Архит и Делосская задача

Более двух тысяч лет назад со священным островом Делос оказалась связана необычная математическая задача.

Древние и более поздние авторы сохранили несколько версий того, как она возникла, и сегодня уже невозможно точно определить, где заканчивается история и начинается легенда. Согласно самой известной традиции, во время эпидемии люди обратились за советом к оракулу Аполлона. Ответ казался простым: алтарь бога нужно было увеличить вдвое.

Но здесь скрывалась проблема. Алтарь Аполлона имел форму куба. Если удвоить длину каждой его стороны, объём увеличится не в два раза, а в восемь.

Как же построить куб, объём которого будет ровно вдвое больше исходного?

Священный остров

Делос — крошечный остров в Эгейском море, но для древних греков он был одним из самых священных мест. Согласно мифу, именно здесь Лето родила близнецов Аполлона и Артемиду.

Среди его самых узнаваемых памятников — Терраса львов. Жители Наксоса посвятили Аполлону ряд мраморных львов примерно в конце VII века до н. э.

Ловушка, спрятанная в кубе

Представим, что сторона первоначального кубического алтаря равна 1. Тогда его объём:

Теперь удвоим каждую сторону:

Нам нужен был двойной объём. А получили мы объём в восемь раз больше.

Необходимую длину стороны нового куба сегодня мы записываем так:

Но знать это число — ещё не значит решить античную задачу.

Главная трудность заключалась в ограничениях классического геометрического построения. Задачу требовалось решить на плоскости, пользуясь только циркулем и немаркированной линейкой — линейкой без делений.

И в этих ограничениях удвоение куба решить невозможно.

Архит из Тарента

Архит жил приблизительно в 428–347 годах до н. э. Он был математиком, философом, государственным деятелем, военачальником, исследователем музыки и одним из выдающихся представителей пифагорейской традиции.

Его решение Делосской задачи оказалось поразительным именно потому, что Архит вышел за пределы ограничений классического построения.

Он перенёс задачу с плоскости в пространство. Его построение было связано с пересечением нескольких геометрических поверхностей. В современной интерпретации его метода речь идёт о поверхностях, связанных с цилиндром, конусом и тором.

Это была невероятно смелая идея. Архит не просто предложил другой способ решения — он изменил само пространство, в котором искал ответ.

Собственное описание Архитом этого построения до нас не дошло. Мы знаем о нём благодаря более поздним математикам, прежде всего Эвтокию Аскалонскому.

Сможете ли вы удвоить куб?

Посмотрите ещё раз на два куба на обороте открытки. Сторона первого равна 1. Нужно найти сторону второго куба, объём которого будет ровно равен 2.

Значит, сторона нового куба должна быть примерно на 26% длиннее стороны первоначального — а вовсе не в два раза длиннее.

Но попробуйте получить эту длину на плоскости, пользуясь только циркулем и немаркированной линейкой. Не получится.

Архит нашёл выход не потому, что заставил циркуль и линейку сделать невозможное. Он изменил сами условия поиска — и вывел геометрию в пространство.

Простое требование — «удвойте алтарь» — открыло дверь в совершенно новый способ мыслить о геометрии.