Архіт і Делоська завдання

Понад дві тисячі років тому со священным островом Делос оказалась связана необычная математическая завдання.

Давні й пізніші автори сохранили несколько версий того, як она возникла, и сегодня уже невозможно точно определить, где заканчивается історія и начинается легенда. За найвідомішою традицією, во время эпидемии люди обратились за советом к оракулу Аполлона. Ответ казался простым: алтарь бога потрібно было увеличить вдвое.

Но здесь скрывалась проблема. Алтарь Аполлона имел форму куба. якщо удвоить довжину каждой його сторони, об’єм увеличится не в два раза, а в восемь.

як же построить куб, об’єм якого будет ровно вдвое больше исходного?

Священний острів

Делос — крошечный острів в Эгейском море, но для давніх греків он був одним из самых священных мест. За міфом, именно здесь Лето родила близнецов Аполлона и Артемиду.

Среди його самых узнаваемых памятников — Терраса львов. Жители Наксоса посвятили Аполлону ряд мраморных львов примерно в конце VII века до н. э.

Пастка, прихована в кубі

Уявімо, що сторона первоначального кубического алтаря равна 1. Тогда його об’єм:

Тепер удвоим каждую сторону:

Нам був потрібен двойной об’єм. А получили мы об’єм в восемь раз больше.

Необхідну довжину сторони нового куба сегодня мы записываем так:

Але знати це число — ещё не значит решить античную задачу.

Головна складність заключалась в ограничениях классического геометрического построения. Завдання потрібно було розв’язати на площині, пользуясь лише циркулем и немаркированной линейкой — линейкой без делений.

І за цих обмежень удвоение куба решить невозможно.

Архіт із Тарента

Архит жив приблизно в 428–347 годах до н. э. Він був математиком, философом, государственным деятелем, военачальником, исследователем музыки и одним из выдающихся представителей пифагорейской традиции.

Його розв’язання Делосской завдання оказалось поразительным именно потому, що Архит вышел за пределы ограничений классического построения.

Він переніс завдання с площині в простір. його построение было связано с пересечением нескольких геометрических поверхностей. В современной интерпретации його метода речь идёт о поверхностях, связанных с цилиндром, конусом и тором.

Це була неймовірно смілива ідея. Архит не просто предложил інший способ решения — он изменил само простір, в котором искал ответ.

Власний опис Архитом этого построения до нас не дошло. Мы знаем о нём благодаря более поздним математикам, прежде всего Эвтокию Аскалонскому.

Чи зможете ви подвоїти куб?

Подивіться ще раз на два куба на обороте открытки. Сторона первого равна 1. потрібно найти сторону второго куба, об’єм якого будет ровно равен 2.

Отже, сторона нового куба должна быть примерно на 26% длиннее сторони первоначального — а вовсе не в два раза длиннее.

Але спробуйте получить эту довжину на площині, пользуясь лише циркулем и немаркированной линейкой. Не вийде.

Архит нашёл выход не потому, що заставил циркуль и линейку сделать невозможное. Он изменил сами условия поиска — и вывел геометрию в простір.

Проста вимога — «удвойте алтарь» — открыло дверь в совершенно новый способ мыслить о геометрии.